在等邊△ABC中，點E是AB上的動點，點E與點A、B不重合，點D在CB的延長線上，且EC=ED．（1）如圖1，...

問題詳情：

在等邊△ABC中，點E是AB上的動點，點E與點A、B不重合，點D在CB的延長線上，且EC=ED．

（1）如圖1，若點E是AB的中點，求*：BD=AE；

（2）如圖2，若點E不是AB的中點時，（1）中的結論“BD=AE”能否成立？若不成立，請直接寫出BD與AE數理關係，若成立，請給予*．

【回答】

（1）*：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵點E是AB的中點，

∴CE平分∠ACB，AE=BE，

∴∠BCE=30°，

∵ED=EC，

∴∠D=∠BCE=30°．

∵∠ABC=∠D+∠BED，

∴∠BED=30°，

∴∠D=∠BED，

∴BD=BE．

∴AE=DB．

（2）解：AE=DB；

理由：過點E作EF∥BC交AC於點F．如圖2所示：

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等邊三角形．

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

∵DE=EC，

∴∠D=∠ECD，

∴∠BED=∠ECF．

在△DEB和△ECF中，

，

∴△DEB≌△ECF（AAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題