已知橢圓C：=1（a＞b＞0）過點P（2，1），其左右焦點分別為F1，F2，三角形PF1F2的面積為．（Ⅰ）求...

問題詳情：

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）過點P（2，1），其左右焦點分別為F1，F2，三角形PF1F2的面積為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）已知A，B是橢圓C上的兩個動點且不與座標原點O共線，若∠APB的角平分線總垂直於x軸，求*：直線AB與兩座標軸圍成的三角形一定是等腰三角形

【回答】

解：（Ⅰ）由題意可得，解得a2=6，b2=3， 故橢圓C的方程為+=1， *（Ⅱ）：設直線AP的斜率為k，則直線BP的斜率為-k， 設A（x1，y1），B（x2，y2），直線PA的方程為y+1=k（x-2），即y=kx+1-2k 聯立，得（1+2k2）x2+4（k-2k2）x+8k2-8k-4=0． ∴2x1=，即x1= 設直線PB的方程為y+1=-k（x-2），同理求得x2= ∴x2-x1=- ∴y1-y2=k（x1+x2）+2-4k=， ∴直線AB的斜率kAB==1， 易知l與在兩座標軸的截距絕對值相等且都不為0， ∴直線AB與兩座標軸圍成的三角形一定是等腰三角形 【解析】

（Ⅰ）由題意可得，解得a2=6，b2=3，則橢圓方程可求； （Ⅱ）設直線PA的方程為y+1=k（x-2），聯立直線方程和橢圓方程，求得A的橫座標，同理求得B的橫座標，進一步求得A、B的縱座標的差，代入斜率公式得*． 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與橢圓位置關係的應用，考查計算能力，屬中檔題．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題