橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點為F1、F2,點P在橢圓C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2...
問題詳情:
橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點為F1 、F2 ,點P在橢圓C上,且PF1⊥F1F2 ,|PF1|=,|PF2|=. (Ⅰ)求橢圓C的方程 ; (Ⅱ)若直線l過點M(-2,1),交橢圓C於A,B兩點,且M恰是A,B中點,求直線l的方程.
【回答】
解:(Ⅰ)因為點P在橢圓C上,所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在Rt△PF1F2中,|F1F2|=,故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2-c2=4, 所以橢圓C的方程為=1. (Ⅱ)設A,B的座標分別為(x1,y1)、(x2,y2).若直線l斜率不存在,顯然不合題意. 從而可設過點(-2,1)的直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因為A,B關於點M對稱,所以,解得k=, 所以直線l的方程為,即8x-9y+25=0. 經檢驗,△>0,所以所求直線方程符合題意.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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