設橢圓C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1，F2，P為橢圓C上的點，在△PF1F2中，點Q滿足=4...

問題詳情：

設橢圓C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1，F2，P為橢圓C上的點，在△PF1F2中，點Q滿足=4，∠F1PF2=∠QF2F1，則橢圓C的離心率e的取值範圍是（　　）

A．0＜e＜  B．＜e＜

C．＜e＜1  D．0＜e＜或＜e＜1

【回答】

B【分析】由題意可設|F1Q|=t，|F1P|=4t，運用三角形相似的判斷和*質，可得t=c，由橢圓的*質可得a﹣c＜|F1P|＜a+c，運用離心率公式計算即可得到所求範圍．

【解答】解：由點Q滿足=4，

設|F1Q|=t，|F1P|=4t，

在△F1PF2和△F1F2Q中，∠F1PF2=∠QF2F1，∠PF1F2=∠F2F1Q，

可得△F1PF2∽△F1F2Q，即有：

=，即=，

可得t=c，由a﹣c＜|F1P|＜a+c，

可得a﹣c＜4c＜a+c，

即為a＜5c且a＞3c，

由e=可得＜e＜．

故選：B．

【點評】本題考查橢圓的離心率的範圍，注意運用三角形相似的*質，以及橢圓的點到焦點的距離的最值，考查化簡整理的運算能力，屬於中檔題．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：選擇題