已知點M是橢圓C：=1（a＞b＞0）上一點，F1、F2分別為C的左、右焦點，|F1F2|=4，∠F1MF2=6...

問題詳情：

已知點M是橢圓C： =1（a＞b＞0）上一點，F1、F2分別為C的左、右焦點，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面積為

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設N（0，2），過點p（﹣1，﹣2）作直線l，交橢圓C異於N的A、B兩點，直線NA、NB的斜率分別為k1、k2，*：k1+k2為定值．

【回答】

【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題；K3：橢圓的標準方程．

【分析】（I）由余弦定理可得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°，結合|F1F2|=2c=4，|MF1|+|MF2|=2a，求出a2，b2的值，可得橢圓C的方程；

（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設其方程為y+2=k（x+1），與出橢圓方程聯立後，利用韋達定理，化簡k1+k2可得定值；當直線l斜率不存在時，求出A，B兩點座標，進而求出k1、k2，綜合討論結果，可得結論．

【解答】解：（I）在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin60°=，得|MF1||MF2|=．

由余弦定理，得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=（|MF1|+|MF2|）2﹣2|MF1||MF2|（1+cos60°）

又∵|F1F2|=2c=4，|MF1|+|MF2|=2a

故16=4a2﹣16，

解得a2=8，故b2=a2﹣c2=4

故橢圓C的方程為

（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設其方程為y+2=k（x+1）

由，得（1+2k2）x2+4k（k﹣2）x+2k2﹣8k=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=，x1x2=，

從而k1+k2=+==2k﹣（k﹣4）=4．                                                  11分

當直線l斜率不存在時，得A（﹣1，），B（﹣1，﹣）

此時k1+k2=4

綜上，恆有k1+k2=4．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題