已知拋物線的準線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求...

問題詳情：

已知拋物線的準線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點F做直線與橢圓C交於A，B兩點，P是AB的中點，線段AB的中垂線交直線l於點Q.若，求直線AB的方程.

【回答】

（1）；（2）或.

【分析】

（1）由拋物線的準線方程求出的值，確定左焦點座標，再由點F到直線l：的距離為4，求出即可；

（2）設直線方程，與橢圓方程聯立，運用根與係數關係和絃長公式，以及兩直線垂直的條件和中點座標公式，即可得到所求直線的方程.

【詳解】

（1）拋物線的準線方程為，

，直線，點F到直線l的距離為，

，

所以橢圓的標準方程為；

（2）依題意斜率不為0，又過點，設方程為，

聯立，消去得，，

，設，

，

，

，

線段AB的中垂線交直線l於點Q，所以橫座標為3，

，，

，平方整理得，

解得或（捨去），，

所求的直線方程為或.

【點睛】

本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關係，要熟練應用根與係數關係、相交弦長公式，合理運用兩點間的距離公式，考查計算求解能力，屬於中檔題.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題