定義在R上函式f（x）滿足：f（x）=f（﹣x），f（2+x）=f（2﹣x），若曲線y=f（x）在x=1處的切...

問題詳情：

定義在R上函式f（x）滿足：f（x）=f（﹣x），f（2+x）=f（2﹣x），若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為x+y﹣3=0，則y=f（x）在x=2015的切線方程為（　　）

A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣2013=0 C． x﹣y﹣2015=0 D． x﹣y+2017=0

【回答】

 B．

考點： 利用導數研究曲線上某點切線方程． 

專題： 函式的*質及應用；導數的概念及應用；直線與圓．

分析： 由f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（2﹣x），可令x為x+2，可得f（x）為週期為4的函式，再由x=1處的切線方程為x+y﹣3=0，可得f（1），f（2015），再通過求導，可得導函式為奇函式且為周期函式，即可求得f′（2015），由點斜式方程，即可得到所求切線方程．

解答： 解：由f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（2﹣x），

即有f（x+4）=f（2﹣（x+2））=f（﹣x）=f（x），

則f（x）為週期為4的函式，

若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為x+y﹣3=0，

則f（1）=2，f′（1）=﹣1，

即有f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1）=2，

對f（﹣x）=f（x），兩邊求導，可得﹣f′（﹣x）=f′（x），

由f（x+4）=f（x），可得f′（x+4）=f′（x），

即有f′（2015）=f′（3）=f′（﹣1）=1，

則該曲線在x=2015處的切線方程為y﹣2=x﹣2015，

即為x﹣y﹣2013=0．

故選：B．

點評： 本題考查導數的運用：求切線方程，主要考查導數的幾何意義，同時考查函式的奇偶*和週期*的運用，屬於中檔題．

知識點：導數及其應用

題型：選擇題