已知橢圓C：的離心率為，左焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓於A，B兩點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）在軸上...

問題詳情：

已知橢圓C：的離心率為，左焦點為，過點且斜率為

的直線交橢圓於A，B兩點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）在軸上，是否存在定點E，使恆為定值？若存在，求出E點的座標和這個定值；若

不存在，說明理由．

【回答】

（1）由已知可得，解得所求的橢圓方程為 ……4分

（2）設過點D（0,2）且斜率為k的直線l的方程為y=kx+2,

由消去y整理得：

設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=﹣

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣，

y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=

設存在點E（0，m），則，

所以=

=         ……………8分

要使得 （t為常數），

只要 =t，從而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0

即由（1）得 t=m2﹣1，代入（2）解得m=，從而t=，

故存在定點 ，使 恆為定值 ．……………12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題