（2019·山東會考模擬）如圖，∠MAN=90°，點C在邊AM上，AC=4，點B為邊AN上一動點，連線BC，△...

問題詳情：

（2019·山東會考模擬）如圖，∠MAN=90°，點C在邊AM上，AC=4，點B為邊AN上一動點，連線BC，△A′BC與△ABC關於BC所在直線對稱，點D，E分別為AC，BC的中點，連線DE並延長交A′B所在直線於點F，連線A′E．當△A′EF為直角三角形時，AB的長為_____．

【回答】

或4

【解析】

當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當∠A'EF=90°時，如圖1，根據對稱的*質和平行線可得：A'C=A'E=4，根據直角三角形斜邊中線的*質得：BC=2A'B=8，最後利用勾股定理可得AB的長；

②當∠A'FE=90°時，如圖2，*△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．

詳解：當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當∠A'EF=90°時，如圖1，

.

∵△A′BC與△ABC關於BC所在直線對稱，

∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，

∵點D，E分別為AC，BC的中點，

∴D、E是△ABC的中位線，

∴DE∥AB，

∴∠CDE=∠MAN=90°，

∴∠CDE=∠A'EF，

∴AC∥A'E，

∴∠ACB=∠A'EC，

∴∠A'CB=∠A'EC，

∴A'C=A'E=4，

Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點，

∴BC=2A'E=8，

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，

∴AB=；

②當∠A'FE=90°時，如圖2，

.

∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

∴∠ABF=90°，

∵△A′BC與△ABC關於BC所在直線對稱，

∴∠ABC=∠CBA'=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=4；.

綜上所述，AB的長為4或4；

故*為：4或4.

點睛：本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的*質、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的*質，並利用分類討論的思想解決問題．

知識點：勾股定理

題型：填空題