（2019·四川會考模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O於點D，連線BD...

問題詳情：

（2019·四川會考模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O於點D，連線BD、CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交於點P．

（1）求*：PD是⊙O的切線；

（2）求*：△ABD∽△DCP；

（3）當AB=5cm，AC=12cm時，求線段PC的長．

【回答】

（1）*見解析；（2）*見解析；（3）CP=16.9cm．

【解析】

（1）如圖，連線OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=∠BAC=90°，

∵DP∥BC，

∴∠ODP=∠BOD=90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半徑，

∴PD是⊙O的切線；

（2）∵PD∥BC，

∴∠ACB=∠P，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠P，

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，

∴∠DCP=∠ABD，

∴△ABD∽△DCP；

（3）∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=∠BAC=90°，

在Rt△ABC中，BC==13cm，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠BOD=∠COD，

∴BD=CD，

在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，

∴BD=CD=BC=，

∵△ABD∽△DCP，

∴，

∴，

∴CP=16.9cm．

【點睛】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與*質等，熟練掌握切線的判定方法、相似三角形的判定與*質定理是解題的關鍵.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題