（2019·河南會考模擬）(1)問題發現：如圖1，在等邊中，點為邊上一動點，交於點，將繞點順時針旋轉得到，連線...

問題詳情：

（2019·河南會考模擬）(1)問題發現：如圖1，在等邊中，點為邊上一動點，交於點，將繞點順時針旋轉得到，連線．則與的數量關係是_____，的度數為______．

(2)拓展探究：如圖2，在中，，，點為邊上一動點，交於點，當∠ADF=∠ACF=90°時，求的值．

(3)解決問題：如圖3，在中，，點為的延長線上一點，過點作交的延長線於點，直接寫出當時的值．

【回答】

(1)，；(2)；(3).

【解析】

解：（1）∵DE∥AB ∴∠ABC=∠EDC=60°，∠BAC=∠DEC=60° ∴△DEC是等邊三角形，∠AED=120° ∴DE=DC， ∵將AD繞點D順時針旋轉60°得到DF， ∴∠ADF=60°=∠EDC，AD=DF ∴∠ADE=∠FDC，且CD=DE，AD=DF ∴△ADE≌△FDC（SAS） ∴AE=CF，∠AED=∠DCF=120° ∴∠ACF=60°， 故*為AE=CF，60°

（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=60°， ∴∠BAC=30° ∴tan∠BAC=

∵DE∥AB ∴∠EDC=∠ABC=90° ∵∠ADF=90°， ∴∠ADE=∠FDC ∵∠ACF=90°，∠AED=∠EDC+∠ACB，∠FCD=∠ACF+∠ACB ∴∠AED=∠FCD，且∠ADE=∠FDC ∴△DAE∽△DFC

∵DE∥AB ∴△EDC∽△ABC

（3）∵AB∥DE ∴∠ABC=∠BDE=∠ADF，∠BAC=∠E ∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF，且∠ACF=∠ABC ∴∠BAC=∠DCF=∠E，且∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽△FDC

∵DE∥AB ∴△EDC∽△ABC

∵

【點睛】

本題是相似形綜合題，考查了全等三角形的判定和*質，旋轉的*質，相似三角形的判定和*質，*△ADE∽△FDC是本題的關鍵．

知識點：相似三角形

題型：解答題