在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點D是斜邊AB上一動點（點D與點A、B不重合），連線CD，...

問題詳情：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點D是斜邊AB上一動點（點D與點A、B不重合），連線CD，將CD繞點C順時針旋轉90°得到CE，連線AE，DE．

（1）求△ADE的周長的最小值；

（2）若CD=4，求AE的長度．

【回答】

（1）6+；（2）3﹣或3+

【分析】

（1）根據勾股定理得到AB=AC=6，根據全等三角形的*質得到AE=BD，當DE最小時，△ADE的周長最小，過點C作CF⊥AB於點F，於是得到結論；

（2）當點D在CF的右側，當點D在CF的左側，根據勾股定理即可得到結論

【詳解】

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3

∴AB=AC=6，

∵∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE與△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，

∴△ADE的周長=AE+AD+DE=AB+DE，

∴當DE最小時，△ADE的周長最小，

過點C作CF⊥AB於點F，

當CD⊥AB時，CD最短，等於3，此時DE=3，

∴△ADE的周長的最小值是6+3；

（2）當點D在CF的右側，

∵CF=AB=3，CD=4，

∴DF=，

∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；

當點D在CF的左側，同理可得AE=BD=3+，

綜上所述：AE的長度為3﹣或3+．

【點睛】

本題考查旋轉的*質，全等三角形的判定與*質，勾股定理，解題的關鍵是熟練運用旋轉的*質以及全等三角形的判定與*質．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題