已知數列的前項和為，且成等差數列，N,，函式．（1）求數列{}的通項公式；（2）設數列滿足＝，記數列{ }的...

問題詳情：

 已知數列的前項和為，且成等差數列，N,，函式．

（1）求數列{}的通項公式；

（2）設數列滿足＝，記數列{ }的前n項和為，試比較與的大小．

【回答】

（1）∵－1，Sn，an＋1成等差數列．

∴2Sn＝an＋1－1，①

當n≥2時，2Sn－1＝an－1，②

①－②，得2（Sn－Sn－1）＝an＋1－an，

∴3an＝an＋1，∴．

當n＝1時，由①得2S1＝2a1＝a2－1，a1＝1，∴a2＝3，∴．

∴{an}是以1為首項，3為公比的等比數列，∴an＝3n－1．

（2）∵f（x）＝log3x，

∴f（an）＝log33n－1＝n－1．

∴bn＝＝

＝．

∴

比較Tn與的大小，只需比較2（n＋2）（n＋3）與312的大小即可．

2（n＋2）（n＋3）－312＝2（n2＋5n＋6－156）

＝2（n2＋5n－150）

＝2（n＋15）（n－10）．

∵n∈N*，∴當1≤n≤9且n∈N*時，2（n＋2）（n＋3）＜312，即Tn＜；

當n＝10時，2（n＋2）（n＋3）＝312，即Tn＝；

當n＞10且n∈N*時，2（n＋2）（n＋3）＞312，即Tn＞．

知識點：數列

題型：解答題