設區間,定義在上的函式(),*.(1)若,求*;(2)設常數.①討論的單調*;②若,求*:.
問題詳情:
設區間,定義在上的函式(),*
.
(1)若,求*;
(2)設常數.
① 討論的單調*;
② 若,求*:.
【回答】
【解】(1)當時,,則.
由可知恆成立,故函式在上單調遞增,…… 2分
所以,解得,
所以*. …… 4分
(2)① 由得,
因為,則由,得.
在上列表如下:
+ | 0 | - | 0 | + | |
單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
(ⅰ)當,即時,
則,所以在上單調遞減; …… 6分
(ⅱ)當,即時,此時,
在和上單調遞增;在上單調遞減.
綜上,當時,在上單調遞減;
當時,在,上單調遞增;
在上單調遞減. …… 8分
②(方法一)當時,由①可知,
(ⅰ)當時,在上單調遞減,
所以,
這與恆成立矛盾,故此時實數不存在; …… 10分
(ⅱ)當時,在,上單調遞增;
在上單調遞減,
所以. …… 12分
若,這與恆成立矛盾,
故此時實數不存在;
若,此時,
又,則,
.
…… 14分
下面*,也即*:.
因為,且,則,
下*:.
令,則,
所以在上單調遞增,所以,即.
這與恆成立矛盾,故此時實數不存在.
綜上所述,. …… 16分
(方法二)(ⅰ)當時,成立;
(ⅱ)當時,由題意可知恆成立,則,
設,則,
令,解得.
因為,所以,
所以在上單調遞增,在上單調遞減,
所以,所以; …… 12分
(ⅲ)當時,由題意可知恆成立,則.
設,則,
因為,所以恆成立,所以在上單調遞增,
所以,
所以.
若,則存在實數滿足,
則成立,即,
也即成立,
則,這與矛盾,所以. …… 16分
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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