已知二次函式對任意的都有，且．（1）求函式的解析式；（2）設函式．①若存在實數，，使得在區間上為單調函式，且取...

問題詳情：

已知二次函式對任意的都有，且．

（1）求函式的解析式；

（2）設函式．

①若存在實數，，使得在區間上為單調函式，且取值範圍也為，求的取值範圍；

②若函式的零點都是函式的零點，求的所有零點．

【回答】

（1）；（2）① ；②見詳解.

【解析】

（1）先設二次函式的解析式為，根據題意列出係數對應的方程組，求解，即可得出結果；

（2）①由（1）可得:，對稱軸，由函式在區間上單調，得到或，分別研究和兩種情況，結合題中條件，以及二次函式*質，即可得出結果；

②先設為的零點，由題意得到，即，求出或，分別研究和兩種情況，即可得出結果.

【詳解】（1）設二次函式的解析式為，

則，

由得恆成立，又，

所以，所以，所以；

（2）①由（1）可得:，對稱軸，在區間上單調，

所以或，

當時，在區間上單調增，所以，即為的兩個根，所以只要有小於等於2兩個不相等的實根即可，

所以要滿足，得

當時，在區間上單調減，所以，即

兩式相減得，因為，所以，

所以，，得；

綜上，的取值範圍為

②設為的零點，則，即，得或，

當時，

所以所有零點為；

當時，

由得，

所以所有零點．

【點睛】本題主要考查求二次函式解析式，求函式零點，以及由函式單調*與值域求引數的問題，熟記二次函式的*質，以及根的存在*及根的個數的判斷方法即可，屬於常考題型.

知識點：函式的應用

題型：解答題