如圖，AB是⊙O的直徑，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O於點C，作直徑CD，過點C...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O於點C，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線於點P，作AF⊥PC於點F，連線CB．

（1）求*：AC平分∠FAB；

（2）求*：BC2=CE•CP；

（3）當AB=4且=時，求劣弧的長度．

【回答】

（1）*見解析；（2）*見解析；（3）．

【解析】

（1）根據已知先*∠ACF=∠ACE，再根據等角的餘角相等即可*得；

（2）只要*△CBE∽△CPB，可得即可解決問題；

（3）作BM⊥PF於M，則CE=CM=CF，設CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的*質求出BM，求出tan∠BCM的值即可解決問題；

【詳解】（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵∠BCP=∠BCE，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，

∴∠FAC=∠EAC，

即AC平分∠FAB；

（2）∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，

∴∠OCP=∠CEB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，

∴∠BCE=∠BCP，

∵CD是直徑，

∴∠CBD=∠CBP=90°，

∴△CBE∽△CPB，

∴，

∴BC2=CE•CP；

（3）如圖，作BM⊥PF於M．則CE=CM=CF，

設CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，

∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，

∴∠MCB=∠PBM，

∵CD是直徑，BM⊥PC，

∴∠CMB=∠BMP=90°，

∴△BMC∽△PMB，

∴，

∴BM2=CM•PM=3a2，

∴BM=a，

∴tan∠BCM=，

∴∠BCM=30°，

∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴的長=．

【點睛】本題考查了切線的*質、圓周角定理、相似三角形的判定與*質、解直角三角形的應用等，綜合*較強，有一定的難度，正確新增輔助線，熟練掌握和靈活應用相似三角形的判定與*質定理是解題的關鍵.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題