如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠ABC的平分線交⊙O於點D，DE⊥BC於點E．（1）試判斷DE與⊙O...

問題詳情：

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠ABC的平分線交⊙O於點D，DE⊥BC於點E．

（1）試判斷DE與⊙O的位置關係，並說明理由；

（2）過點D作DF⊥AB於點F，若BE=3，DF=3，求圖中*影部分的面積．

【回答】

（1）DE與⊙O相切，理由見解析；（2）*影部分的面積為2π﹣．

【分析】

（1）直接利用角平分線的定義結合平行線的判定與*質得出∠DEB=∠EDO=90°，進而得出*；

（2）利用勾股定理結合扇形面積求法分別分析得出*．

【詳解】

（1）DE與⊙O相切，

理由：連線DO，

∵DO=BO，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ABC的平分線交⊙O於點D，

∴∠EBD=∠DBO，

∴∠EBD=∠BDO，

∴DO∥BE，

∵DE⊥BC，

∴∠DEB=∠EDO=90°，

∴DE與⊙O相切；

（2）∵∠ABC的平分線交⊙O於點D，DE⊥BE，DF⊥AB，

∴DE=DF=3，

∵BE=3，

∴BD==6，

∵sin∠DBF=，

∴∠DBA=30°，

∴∠DOF=60°，

∴sin60°=，

∴DO=2，

則FO=，

故圖中*影部分的面積為：．

【點睛】

此題主要考查了切線的判定方法以及扇形面積求法等知識，正確得出DO的長是解題關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題