設直線x＝t與函式f(x)＝x2＋1，g(x)＝x＋lnx的圖象分別交於P，Q兩點，則|PQ|的最小值是(　　...

問題詳情：

設直線x＝t與函式f(x)＝x2＋1，g(x)＝x＋ln x的圖象分別交於P，Q兩點，則|PQ|的最小值是(　　)

A．－     B.  C．1     D．－或1

【回答】

C

[解析]　直線x＝t與函式f(x)＝x2＋1，g(x)＝x＋ln x的圖象分別交於P(t，f(t))，Q(t，g(t))兩點，則|PQ|＝|f(t)－g(t)|.

記h(t)＝f(t)－g(t)＝t2＋1－(t＋ln t)．

函式h(t)的定義域為(0，＋∞)，h′(t)＝2t－1－＝(2t2－t－1)＝(2t＋1)(t－1)．

由h′(t)＝0，解得t＝1或t＝－(捨去)．

顯然當t∈(0,1)時，h′(t)<0，函式h(t)單調遞減；當t∈(1，＋∞)時，h′(t)>0，函式h(t)單調遞增．

故函式h(t)的最小值為h(1)＝12＋1－(1＋ln 1)＝1，故|PQ|的最小值為1.

知識點：函式的應用

題型：選擇題