如圖,在平面直角座標系xOy中,函式y=(m為常數,m>1,x>0)的圖象經過點P(m,1)和Q(1,m),直...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,函式y=(m為常數,m>1,x>0)的圖象經過點P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸,y軸分別交於C,D兩點,點M(x,y)是該函式圖象上的一個動點,過點M分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為A,B.
(1)求∠OCD的度數;
(2)當m=3,1<x<3時,存在點M使得△OPM∽△OCP,求此時點M的座標;
(3)當m=5時,矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等於4.1?請說明你的理由.
【回答】
(1)∠OCD=45°;(2)M(2,);(3)不存在.理由見解析.
【解析】
(1)想辦法*OC=OD即可解決問題;
(2)設M(a,),由△OPM∽△OCP,推出,由此構建方程求出a,再分類求解即可解決問題;
(3)不存在,分三種情形說明:①當1<x<5時,如圖1中;②當x≤1時,如圖2中;③當x≥5時.
【詳解】
詳解:(1)設直線PQ的解析式為y=kx+b,則有,
解得,
∴y=-x+m+1,
令x=0,得到y=m+1,∴D(0,m+1),
令y+0,得到x=m+1,∴C(m+1,0),
∴OC=OD,
∵∠COD=90°,
∴∠OCD=45°.
(2)設M(a,),
∵△OPM∽△OCP,
∴,
∴OP2=OC•OM,
當m=3時,P(3,1),C(4,0),
OP2=32+12=10,OC=4,OM=,
∴,
∴10=4,
∴4a4-25a2+36=0,
(4a2-9)(a2-4)=0,
∴a=±,a=±2,
∵1<a<3,
∴a=或2,
當a=時,M(,2),
PM=,CP=,
,(捨去)
當a=2時,M(2,),PM=,CP=,
∴,成立,
∴M(2,).
(3)不存在.理由如下:
當m=5時,P(5,1),Q(1,5),設M(x,),
OP的解析式為:y=x,OQ的解析式為y=5x,
①當1<x<5時,如圖1中,
∴E(,),F(x,x),
S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE
=5-x•x-••=4.1,
化簡得到:x4-9x2+25=0,
△<O,
∴沒有實數根.
②當x≤1時,如圖2中,
S=S△OGH<S△OAM=2.5,
∴不存在,
③當x≥5時,如圖3中,
S=S△OTS<S△OBM=2.5,
∴不存在,
綜上所述,不存在.
【點睛】
本題考查反比例函式綜合題、矩形的*質、待定係數法、相似三角形的判定和*質等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會利用引數構建方程解決問題,學會用分類討論的思想思考問題.
知識點:反比例函式單元測試
題型:解答題
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