在平面直角座標系xOy中，拋物線y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）與x軸的交點分別為A（x1，0），B（...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，拋物線y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）與x軸的交點分別為A（x1，0），B（x2，0）．

（1）求*：拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）若AB=2，求此拋物線的解析式．

（3）已知x軸上兩點C（2，0），D（5，0），若拋物線y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）與線段CD有交點，請寫出m的取值範圍．

【回答】

【考點】拋物線與x軸的交點；待定係數法求二次函式解析式．

【專題】計算題．

【分析】（1）*△＞0即可；

（2）利用拋物線與x軸的交點問題，則x1、x2為方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的兩根，利用根與係數的關係得到x1+x2=8，x1•x2=，再變形|x1﹣x2|=2得到（x1+x2）2﹣4x1•x2=4，所以82﹣4•=4，然後解出m即可得到拋物線解析式；

（3）先求出拋物線的對稱軸為直線x=4，利用函式圖象，由於拋物線開口向上，則只要當x=2，y≥0時，拋物線與線段CD有交點，於是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0，然後解不等式即可．

【解答】（1）*：△=64m2﹣4m•（16m﹣1）

=4m，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）根據題意，x1、x2為方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的兩根，

∴x1+x2=﹣=8，x1•x2=，

∵|x1﹣x2|=2，

∴（x1+x2）2﹣4x1•x2=4，

∴82﹣4•=4，

∴m=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣8x+15；

（3）拋物線的對稱軸為直線x=﹣=4，

∵拋物線開口向上，

∴當x=2，y≥0時，拋物線與線段CD有交點，

∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，

∴m≥．

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函式y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點座標問題轉化為解關於x的一元二次方程．也考查了根與係數的關係．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題