設函式,.(Ⅰ)討論函式的單調*;(Ⅱ)當時,函式恰有兩個零點,*:
問題詳情:
設函式,.
(Ⅰ)討論函式的單調*;
(Ⅱ)當時,函式恰有兩個零點,*:
【回答】
(1) 當時,在上單調遞減,在上單調遞增;當時,在上單調遞增,在上單調遞減.
(2)*見解析.
【解析】
分析:(1)對函式求導,令, ,分,判斷出單調*;(2)採用綜合分析法*, 由已知條件求出 ,要*,即*,即* ,令,通過*,得出結論。
詳解: (Ⅰ).
∵,∴由,得,即.
若,當變化時,,的變化情況如下表
單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
若,當變化時,,的變化情況如下表:
+ | 0 | - | |
單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 |
綜上,當時,在上單調遞減,在上單調遞增;
當時,在上單調遞增,在上單調遞減.
(Ⅱ)∵當時,函式恰有兩個零點,,
則,即.
兩式相減,得
∵,∴,∴,∴.
∴要*,即*,即*
即*
令,則即*.
設,即*在恆成立.
.
∵在恆成立.∴在單調遞增.
∵在是連續函式,
∴當時,
∴當時,有.
點睛:本題主要考查導數在求函式的單調*上的應用,考查了分類討論思想,綜合分析法*不等式,屬於難題。
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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