如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的直線互相垂直,垂足為D,且AC平分∠DAB.(1)求*:...
問題詳情:
如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的直線互相垂直,垂足為D,且AC平分∠DAB.
(1)求*:DC為⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3,AD=4,求AC的長.
【回答】
【考點】切線的判定;相似三角形的判定與*質.
【分析】(1)連線OC,由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA,然後利用角平分線的*質可以*∠DAC=∠OCA,接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD,然後就得到OC⊥CD,由此即可*直線CD與⊙O相切於C點;
(2)連線BC,根據圓周角定理的推理得到∠ACB=90°,又∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然後利用相似三角形的*質即可解決問題.
【解答】(1)*:連線OC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠OAC
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直線CD與⊙O相切於點C;
(2)解:連線BC,則∠ACB=90°.
∵∠DAC=∠OAC,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴,
∴AC2=AD•AB,
∵⊙O的半徑為3,AD=4,
∴AB=6,
∴AC=2.
【點評】此題主要考查了切線的*質與判定,解題時 首先利用切線的判定*切線,然後利用切線的想這已知條件*三角形相似即可解決問題.
知識點:相似三角形
題型:綜合題
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