已知a∈R，函式f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數的底數)．(1)當a＝2時，求函式f(x)...

問題詳情：

已知a∈R，函式f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e為自然對數的底數)．

(1)當a＝2時，求函式f(x)的單調遞增區間；

(2)若函式f(x)在(－1,1)上單調遞增，求a的取值範圍．

【回答】

. (1)當a＝2時，f(x)＝(－x2＋2x)ex，

∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，

∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－＜x＜.

∴函式f(x)的單調遞增區間是(－，)．

(2)∵函式f(x)在(－1,1)上單調遞增，

∴f′(x)≥0對x∈(－1,1)都成立．

∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex

＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，

∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈(－1,1)都成立．

∵ex＞0，

∴－x2＋(a－2)x＋a≥0對x∈(－1,1)都成立．

即a≥＝x＋1－對x∈(－1,1)都成立．

令y＝x＋1－，則y′＝1＋＞0，

∴y＝x＋1－在(－1,1)上單調遞增，

∴y＜1＋1－＝，∴a≥.

知識點：基本初等函式I

題型：解答題