如圖，正方形ABCD中，E為BC中點連線AE，DF⊥AE於點F，連線CF，FG⊥CF交AD於點G，下列結論：①...

問題詳情：

如圖，正方形ABCD中，E為BC中點連線AE，DF⊥AE於點F，連線CF，FG⊥CF交AD於點G，下列結論：①CF=CD；②G為AD中點；③△DCF∽△AGF；④，其中結論正確的個數有（　　）

A．1個                      B．2個                       C．3個                       D．4個

【回答】

D

【解析】

如圖，作CM⊥DF於M．首先*△DAF≌△CDM，推出DM=AF，再*DF=2AF，推出DM=MF，推出CD=CF，再*∠GDF=∠GFD，推出GD=GF，再*GF=GA即可*GA=GD，由此即可一一判斷.

【詳解】

如圖，作CM⊥DF於M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∴DAB=∠B=∠ADC=90°，

∵∠ADF+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCM=90°，

∴∠ADF=∠DCM，

∵DF⊥AE，CM⊥DF，

∴∠AFD=∠CMD=90°，

∴△DAF≌△CDM，

∴CM=DF，DM=AF，

∵∠ADF+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∵BE=CE，

∴AB=2BE，

∴tan∠BAE=tan∠ADF=，

∴，

∴DM=MF，∵CM⊥DF，

∴CD=CF，故①正確，

∴∠CDF=∠CFD，

∵∠CDG=∠CFG=90°，

∴∠GFD=∠GDF，

∴GF=GD，

∵∠GDF+∠DAF=90°，∠GFD+∠AFG=90°，

∴∠GAF=∠GFA，

∴GF=GA，

∴GD=GA，

∴G是AD中點，故②正確，

∵∠AFD=∠GFC，

∴∠AFG=∠CFD，∠GAF=∠CDF，

∴△DCF∽△AGF，故③正確，

設AF=a，則DF=2a，AB=a，BE=a，

∴AE=a，EF=a，

∴，故④正確，

故選D．

【點睛】

本題考查正方形的*質、全等三角形的判定和*質、銳角三角函式、相似三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是學會新增常用輔助線，構造全等三角形解決問題.

知識點：特殊的平行四邊形

題型：選擇題