如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點,BE⊥AC,垂足為點F,連線DF,下面四個結論:①△AEF∽△CAB...
問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點,BE⊥AC,垂足為點F,連線DF,下面四個結論:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=,其中正確的結論有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【回答】
D【考點】相似三角形的判定與*質;矩形的*質;解直角三角形.
【分析】①正確.只要*∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°即可;
②正確.由AD∥BC,推出△AEF∽△CBF,推出=,由AE=AD=BC,推出=,即CF=2AF;
③正確.只要*DM垂直平分CF,即可*;
④正確.設AE=a,AB=b,則AD=2a,由△BAE∽△ADC,有=,即b=a,可得tan∠CAD===;
【解答】解:如圖,過D作DM∥BE交AC於N,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC於點F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正確;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴=,
∵AE=AD=BC,
∴=,
∴CF=2AF,故②正確;
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四邊形BMDE是平行四邊形,
∴BM=DE=BC,
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC於點F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DM垂直平分CF,
∴DF=DC,故③正確;
設AE=a,AB=b,則AD=2a,
由△BAE∽△ADC,有=,即b=a,
∴tan∠CAD===故④正確;
故選D.
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和*質,矩形的*質,圖形面積的計算以及解直角三角形的綜合應用,正確的作出輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵.解題時注意:相似三角形的對應邊成比例
知識點:相似三角形
題型:選擇題
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