如圖,P為正方形ABCD的對角線BD上任一點,過點P作PE⊥BC於點E,PF⊥CD於點F,連線EF.給出以下4...
問題詳情:
如圖,P為正方形ABCD的對角線BD上任一點,過點P作PE⊥BC於點E,PF⊥CD於點F,連線EF.給出以下4個結論:
①△FPD是等腰直角三角形;
②AP=EF;
③AD=PD;
④∠PFE=∠BAP.
其中,所有正確的結論是( )
A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④
【回答】
C【考點】四邊形綜合題.
【分析】用正方形的*質和垂直的定義判斷出四邊形PECF是矩形,從而判定②正確;
直接用正方形的*質和垂直得出①正確,
利用全等三角形和矩形的*質得出④正確,
由點P是正方形對角線上任意一點,說明AD和PD不一定相等,得出③錯誤.
【解答】解:如圖,
∵P為正方形ABCD的對角線BD上任一點,
∴PA=PC,∠C=90°,
∵過點P作PE⊥BC於點E,PF⊥CD,
∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°,
∴四邊形PECF是矩形,
∴PC=EF,
∴PA=EF,故②正確,
∵BD是正方形ABCD的對角線,
∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°,
∵∠PFC=∠C=90°,
∴PF∥BC,
∴∠DPF=45°,
∵∠DFP=90°,
∴△FPD是等腰直角三角形,故①正確,
在△PAB和△PCB中,
,
∴△PAB≌△PCB,
∴∠BAP=∠BCP,
在矩形PECF中,∠PFE=∠FPC=∠BCP,
∴∠PFE=∠BAP.故④正確,
∵點P是正方形對角線BD上任意一點,
∴AD不一定等於PD,
只有∠BAP=22.5°時,AD=PD,故③錯誤,
故選C
【點評】此題是四邊形綜合題,主要考查了正方形的*質,矩形的判定和*質,全等三角形的判定和*質,垂直的定義,解本題的關鍵是判斷出四邊形PECF是矩形.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:選擇題
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