如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC於點E，PF⊥CD於點F，連線EF.給出下列五個結論：...

問題詳情：

如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC於點E，PF⊥CD於點F，連線EF.給出下列五個結論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC.其中正確的結論是___________________（填序號）

【回答】

①②④

【解析】

【分析】

過P作PG⊥AB於點G，根據正方形對角線的*質及題中的已知條件，*△AGP≌△FPE後即可*①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基礎上，根據正方形的對角線平分對角的*質，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC．

【詳解】

*：過P作PG⊥AB於點G，

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上一點， ∴GP=EP，在△GPB中，∠GBP=45°， ∴∠GPB=45°， ∴GB=GP，同理，得 PE=BE， ∵AB=BC=GF， ∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB， ∴AG=PF， ∴△AGP≌△FPE， ①∴AP=EF； ∠PFE=∠GAP ∴④∠PFE=∠BAP， ②延長AP到EF上於一點H， ∴∠PAG=∠PFH， ∵∠APG=∠FPH， ∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF； ③∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP=45度， ∴當∠PAD=45度或67.5度或90度時，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯誤． ∵GF∥BC， ∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°， ∴∠PDF=∠DPF=45°， ∴PF=EC， ∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2， ∴⑤DP=EC． ∴其中正確結論的序號是①②④．