四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連線DE，過點E作EF⊥DE，交*線BC於點F，以DE、EF為鄰...

問題詳情：

四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連線DE，過點E作EF⊥DE，交*線BC於點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連線CG

（1）如圖，求*：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的長；

（3）當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時，直接寫出∠EFC的度數．

【回答】

（1）*：作EP⊥CD於P，EQ⊥BC於Q，

∵∠DCA＝∠BCA，

∴EQ＝EP，

∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，

∴∠QEF＝∠PED，

在Rt△EQF和Rt△EPD中，，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），

∴EF＝ED，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）如圖2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝4，

∵EC＝2，

∴AE＝CE，

∴點F與C重合，此時△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；

   （3）①如圖3，當DE與AD的夾角為40°時，

∠DEC＝45°+40°＝85°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠CEF＝5°，

∵∠ECF＝45°，

∴∠EFC＝130°，

②如圖4，當DE與DC的夾角為40°時，

∵∠DEF＝∠DCF＝90°，

∴∠EFC＝∠DEC＝40°，

綜上所述，∠EFC＝130°或40°．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題