設函式f(x)=x3-x2+6x-a.(1)對於任意實數x,f′(x)≥m恆成立,求m的最大值;(2)若方程f...
問題詳情:
設函式f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)對於任意實數x,f′(x)≥m恆成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且僅有一個實根,求a的取值範圍.
【回答】
解:(1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),
因為x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m,
即3x2-9x+(6-m)≥0恆成立,
所以Δ=81-12(6-m)≤0,得m≤-,
即m的最大值為-.
(2)因為當x<1時,f′(x)>0;當1<x<2時,f′(x)<0;當x>2時,f′(x)>0.
所以當x=1時,f(x)取極大值f(1)=-a,
當x=2時,f(x)取極小值f(2)=2-a,
故當f(2)>0或f(1)<0時,方程f(x)=0僅有一個實根.
解得a<2或a>.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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