(1)已知函式f(x)＝axekx－1，g(x)＝lnx＋kx.當a＝1時，若f(x)在(1，＋∞)上為減函式...

問題詳情：

(1)已知函式f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx.當a＝1時，若f(x)在(1，＋∞)上為減函式，g(x)在(0,1)上為增函式，求實數k的值；

(2)已知函式f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，討論函式f(x)的單調區間．

【回答】

[解]　(1)當a＝1時，f(x)＝xekx－1，

∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k.

∵f(x)在(1，＋∞)上為減函式，

則∀x＞1，f′(x)≤0⇔k≤－，

∴k≤－1.

∵g(x)在(0,1)上為增函式，

則∀x∈(0,1)，g′(x)≥0⇔k≥－，

∴k≥－1.

綜上所述，k＝－1.

(2)函式f(x)的定義域為(0，＋∞)，

∴f′(x)＝1－－＝

①當Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1時，

得x2－2x－a≥0，

則f′(x)≥0.

∴函式f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

②當Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1時，

令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，

解得x1＝1－，x2＝1＋＞0.

(ⅰ)若－1＜a≤0，則x1＝1－≥0，

∵x∈(0，＋∞)，

∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上單調遞增，

在(1－，1＋)上單調遞減．

(ⅱ)若a＞0，則x1＜0，當x∈(0,1＋)時，f′(x)＜0，當x∈(1＋，＋∞)時，f′(x)＞0，

∴函式f(x)在區間(0,1＋)上單調遞減，

在區間(1＋，＋∞)上單調遞增.

知識點：導數及其應用

題型：解答題