如圖，現將一張矩形ABCD的紙片一角摺疊，若能使點D落在AB邊上F處，摺痕為CE，恰好∠AEF=60°，延長E...

問題詳情：

如圖，現將一張矩形ABCD的紙片一角摺疊，若能使點D落在AB邊上F處，摺痕為CE，恰好∠AEF=60°，延長EF交CB的延長線於點G．

（1）求*：△CEG是等邊三角形；

（2）若矩形的一邊AD=3，求另一邊AB的長．

【回答】

【考點】翻折變換（摺疊問題）；矩形的*質．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）由摺疊可知∠DEC=∠FEC，已知∠AEF=60°，可知∠DEC=∠FEC=60°，由AD∥GC，可知∠G=∠AEF=60°，故有∠G=∠FEC=60°，所以△CEG是等邊三角形；

（2）在Rt△AEF中，∠AEF=60°，設AE=x，則EF=2x，由摺疊的*質得ED=EF=2x，根據AE+ED=AD，列方程求x，在Rt△CDE中，DE=2，∠DEC=60°，可得CE=2DE=4，利用勾股定理可求CD，即AB的長．

【解答】（1）*：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC即AD∥GC，

∴∠G=∠AEF=60°，

由摺疊可知：∠CED=∠CEG，而∠GED=180°﹣∠AEF=120°

∴∠GEC=∠CED=∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°，

∴△CEG是等邊三角形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD，

由（1）可知∠AEF=∠CED=60°，∴∠AFE=∠DCE=30°，

∴EF=2AE，CE=2DE．設AE=x，則EF=2x，ED=EF=2x，

∴AD=x+2x=3，CE=4x，解得，x=1，DE=2，CE=4，

在Rt△CDE中，CD=

∴AB=2．

【點評】本題考查了摺疊的*質及其運用．關鍵是由摺疊求相等的線段，相等的角，把問題集中在直角三角形中使用勾股定理．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題