已知數列{an}滿足(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).(1)求a1,a2和{an}的通...
問題詳情:
已知數列{an}滿足(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).
(1)求a1,a2和{an}的通項公式;
(2)記數列{an-kn}的前n項和為Sn,若Sn≤S4對任意的正整數n恆成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
解(1)由題意得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,
所以a1=1×22=4,a1+2a2=2×23,得a2=6.
由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,
所以a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n(n≥2),
相減得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,
得an=2n+2,當n=1也滿足上式.
所以{an}的通項公式為an=2n+2.
(2)數列{an-kn}的通項公式為an-kn=2n+2-kn=(2-k)n+2,
所以數列{an-kn}是以4-k為首項,公差為2-k的等差數列.
若Sn≤S4對任意的正整數n恆成立,等價於當n=4時,Sn取得最大值,
所以
解得k
知識點:數列
題型:解答題
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