數列{an}滿足a1＝，a2＝，且a1a2+a2a3+…+anan+1＝na1an+1對任何正整數n成立，則＋...

問題詳情：

數列{an}滿足a1＝，a2＝，且a1a2+a2a3+…+anan+1＝na1 an+1對任何正整數n成立，則

＋＋…＋的值為      ．

【回答】

85  解法一：由a1a2+a2a3＝2a1a3及a1＝，a2＝，得a3＝，再由a1a2+a2a3+ a3a4＝3a1a4，a4＝．

進一步得a5＝，a6＝， a7＝，a8＝，a9＝，a10＝，故＋＋…＋＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a1a2+a2a3+…+anan+1＝na1 an+1    ①，a1a2+a2a3+…+anan+1+ an+1an+2＝(n+1)a1 an+2   ②，②－①得，an+1an+2＝(n+1)a1 an+2－na1 an+1＝－＝－＝＋，(n≥2)，則a1a2+a2a3＝2a1a3＝＋，所以數列{}成等差數列，公差為1，即＝n+3，an＝．代入可得＋＋…＋＝85．

知識點：數列

題型：填空題