如圖T8-8,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作☉O交斜邊AC於點D,過圓心O作OE∥AC,交BC於點E,連線...

問題詳情：

如圖T8-8,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作☉O交斜邊AC於點D,過圓心O作OE∥AC,交BC於點E,連線DE.

圖T8-8

(1)判斷DE與☉O的位置關係並說明理由;

(2)求*:2DE2=CD·OE;

(3)若tanC=,DE=,求AD的長.

【回答】

.解:(1)DE與☉O的位置關係是相切.

理由:連線OD.

∵OE∥AC,∴∠BOE=∠A,∠DOE=∠ADO,

∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,

∴∠BOE=∠DOE,

∵OB=OD,OE=OE,∴△BOE≌△DOE,

∴∠OBE=∠ODE=90°,

∴OD⊥DE,∴DE是☉O的切線.

(2)*:連線BD交OE於F.

∵OE∥AC,

∴==.

∵OA=OB,

∴BF=DF,BE=CE,

∴EF=CD.

∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,

∵OE∥AC,∴∠OFB=∠ADB=90°,

∴∠OBE=∠BFE,

∵∠BEO=∠BEF,∴△BEF∽△OEB,

∴=,∴BE2=EF·OE=CD·OE.

∵AB為直徑,AB⊥BE,

∴BE是☉O的切線,由(1)得DE也是☉O的切線,

∴BE=DE,∴DE2=CD·OE,

∴2DE2=CD·OE.

(3)由(2)得∠BDC=90°,BE=CE,∴DE=BC,

∵DE=,∴BC=5.

在Rt△ABC中,tanC==,

∴AB=,∴AC==.

∵∠ABC=∠ADB=90°,∠A=∠A,

∴△ADB∽△ABC,

∴=,∴AB2=AD·AC,

∴AD=2÷=.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題