數列{an}滿足Sn=2n﹣an(n∈N*).(Ⅰ)計算a1,a2,a3,a4,並由此猜想通項公式an;(Ⅱ)...
問題詳情:
數列{an}滿足Sn=2n﹣an(n∈N*).
(Ⅰ)計算a1,a2,a3,a4,並由此猜想通項公式an;
(Ⅱ)用數學歸納法*(Ⅰ)中的猜想.
【回答】
【考點】RG:數學歸納法;8H:數列遞推式;F1:歸納推理.
【分析】(Ⅰ)通過n=1,2,3,4,直接計算a1,a2,a3,a4,並由此猜想通項公式;
(Ⅱ)直接利用數學歸納法*.檢驗n取第一個值時,等式成立,假設,*.
【解答】(本小題滿分8分)
解:(Ⅰ)當n=1時,a1=s1=2﹣a1,所以a1=1.
當n=2時,a1+a2=s2=2×2﹣a2,所以.
同理:,.
由此猜想…
(Ⅱ)*:①當n=1時,左邊a1=1,右邊=1,結論成立.
②假設n=k(k≥1且k∈N*)時,結論成立,即,
那麼n=k+1時,ak+1=sk+1﹣sk=2(k+1)﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1,
所以2ak+1=2+ak,所以,
這表明n=k+1時,結論成立.
由①②知對一切n∈N*猜想成立.…
知識點:數列
題型:解答題
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