在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與是邊長為的等邊三角形，，和平面所成的角為，且點在平面上的*影落在的平分線...

問題詳情：

在如圖所示的空間幾何體中，平面平面， 與是邊長為的等邊三角形，，和平面所成的角為，且點在平面上的*影落在的平分線上．

（1）求*：平面；

（2）求二面角的餘弦值．

【回答】

解：（1）由題意知，，都是邊長為2的等邊三角形，取中點，連線，則，，……………………2分

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那麼，根據題意，點落在上，

∴，易求得，…………4分

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面 …………6分

（2）解法一：作，垂足為，連線，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，

∴就是二面角的平面角．…………9分 

 中，，，．

∴．即二面角的餘弦值為.………12分

解法二：建立如圖所示的空間直角座標系，可知平面的一個法向量為                                               ………………7分

 設平面的一個法向量為

則，可求得．                ………………9分

所以，                  ………………11分

又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，

所以二面角的餘弦值為．                  ………………12分

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題