已知，點M為二次函式y=-（x-b）2＋4b＋1圖象的頂點，直線y=mx＋5分別交x軸正半軸，y軸於點A，B。...

問題詳情：

已知，點M為二次函式y=-（x-b）2＋4b＋1圖象的頂點，直線y=mx＋5分別交x軸正半軸，y軸於點A，B。

（1）判斷頂點M是否在直線y=4x＋1上，並說明理由。

（2）如圖1，若二次函式圖象也經過點A，B，且mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1，根據圖象，寫出x的取值範圍。

（3）如圖2，點A座標為（5，0），點M在△AOB內，若點C（，y1），D（，y2）都在二次函式圖象上，試比較y1與y2的大小。

【回答】

（1）∵點M座標是（b，4b＋1）， ∴把x=b代入y=4x＋1，得y=4b＋1， ∴點M在直線y=4x＋1上。（2）如圖1，∵直線y=mx＋5與y軸交於點為B， ∴點B座標為（0，5）又∵B（0，5）在拋物線上， ∴5=-（0-b）2＋4b＋1，解得b=2 ∴二次函式的表示式為y=-（x-2）2＋9 ∴當y=0時，得x1=5，x2=-1， ∴A（5，0）．觀察圖象可得，當mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1時， x的取值範圍為x＜0或x＞5．（3）如圖2，∵直線y=4x＋1與直線AB交於點E，與y軸交於點F，而直線AB表示式為y=-x＋5，解方程組，得 ∴點E（，），F（0，1） ∵點M在△AOB內， ∴0<b< . 當點C，D關於拋物線對稱軸（直線x=b）對稱時，b- = -b ∴b= 且二次函式圖象的開口向下，頂點M在直線y=4x＋1上，綜上：①當0＜b＜時，y1＞y2； ②當b= 時，y1=y2； ③當＜b＜時，y1＜y2。

【考點】二次函式與一次函式的綜合應用

【解析】【分析】（1）驗*一個點的座標是否在一個函式圖象：即把該點的橫座標代入該函式表示式，求出縱座標與該點的縱座標比較是否一樣；（2）求不等式mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1的解集，不能直接解不等式，需要結合函式圖象解答，因為次函式y=-（x-b）2＋4b＋1，一次函式y=mx＋5，這個不等式即表示一次函式的值要大於二次函式的值，結合圖象，即一次函式的圖象在二次函式圖的上方時x的取值範圍，此時x的範圍是在點B的左邊，點A的右邊，則需要分別求出點B和點A的橫從標；因為點B是在直線直線y=mx＋5與y軸的交點，令x=0，可求得B（0,5）；因為二次函式y=-（x-b）2＋4b＋1圖象經過點B，將B（0,5）代入可求得b，然後令二次函式y=-（x-b）2＋4b＋1=0，求出點A的橫座標的值即可（3）二次函式y=-（x-b）2＋4b＋1的圖象是開口向下的，所以有最大值，當點離對稱軸越近時，也就越大，因為C（， y1），D（， y2）的橫座標是確定的，則需要確定對稱軸x=b的位置，先由頂點M在△AOB內，得出b的取值範圍；一般先確定y1=y2時對稱軸位置，再結合“點離對稱軸越近時，也就越大”分三類討論，當y1>y2 ，當y1=y2 ，當y1<y2時b的取值範圍．