如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點.分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然後...

問題詳情：

如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點. 分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然後以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連線AG，DE．

（1）求*：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉角（0°< <360°）得到正方形，如圖2．

①在旋轉過程中，當∠是直角時，求的度數；（註明：當直角邊為斜邊一半時，這條直角邊所對的銳角為30度）

②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求長的最大值和此時的度數，直接寫出結果不必說明理由．

                                       圖1                  圖2

【回答】

（1）如圖1，延長ED交AG於點H.

∵O為正方形ABCD對角線的交點.∴OA=OD，OA⊥OD.

∵OG=OE，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO=∠DEO.

∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠DEO+∠GAO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG. （4分）

（2）①在旋轉過程中，∠成為直角有以下兩種情況：

（ⅰ）α由0°增大到90°過程中，當∠為直角時，

∵，∴在Rt△中，，

∴∠.∵OA⊥OD，∴∠DOG′=90°－∠=30°，即α=30°.（6分）

（2）α由90°增大到180°過程中，當∠為直角時，

同理可求的∠AOG′=30°，所以α=90°+∠=150°.綜上，當∠為直角時，α=30°或150°. （8分）

②AF′長的最大值是，此時α=315°.理由：當AF′長的最大時，點F′在直線AC上，如圖所示：

∵AB=BC=CD=AD=1，∴AC=BD=，AO=OD=．

∴OE′=E′F′=2OD=．∴OF′=．∴AF′=AO+OF′=．

∵∠E′OF′=45°∴旋轉角α=360°-45°=315°．（12分）

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題