如圖1,點O是正方形ABCD兩對角線的交點,分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,OE=2OC,然後...
問題詳情:
如圖1,點O是正方形ABCD兩對角線的交點,分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,OE=2OC,然後以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG,連線AG,DE.
(1)求*:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如圖2.
①在旋轉過程中,當∠OAG′是直角時,求α的度數;
②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉過程中,求AF′長的最大值和此時α的度數,直接寫出結果不必說明理由.
【回答】
【考點】RB:幾何變換綜合題.
【分析】(1)延長ED交AG於點H,易*△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然後運用等量代換*∠AHE=90°即可;
(2)①在旋轉過程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:α由0°增大到90°過程中,當∠OAG′=90°時,α=30°,α由90°增大到180°過程中,當∠OAG′=90°時,α=150°;
②當旋轉到A、O、F′在一條直線上時,AF′的長最大,AF′=AO+OF′=+2,此時α=315°.
【解答】解:(1)如圖1,延長ED交AG於點H,
∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋轉過程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:
(Ⅰ)α由0°增大到90°過程中,當∠OAG′=90°時,
∵OA=OD=OG=OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°過程中,當∠OAG′=90°時,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°﹣30°=150°.
綜上所述,當∠OAG′=90°時,α=30°或150°.
②如圖3,當旋轉到A、O、F′在一條直線上時,AF′的長最大,
∵正方形ABCD的邊長為1,
∴OA=OD=OC=OB=,
∵OG=2OD,
∴OG′=OG=,
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′=+2,
∵∠COE′=45°,
∴此時α=315°.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題
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