已知圓C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直線l:x﹣y+3=0.當直線l被圓C截得的弦長為時,求(...
問題詳情:
已知圓C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直線l:x﹣y+3=0.當直線l被圓C截得的弦長為時,求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求過點(3,5)並與圓C相切的切線方程.
【回答】
(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)5x﹣12y+45=0或x=3.
【解析】
(Ⅰ)根據圓的方程找出圓心座標與圓的半徑,然後利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d,然後根據垂徑定理得到弦心距,弦的一半及圓的半徑成直角三角形,利用勾股對了列出關於a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然後由a大於0,得到滿足題意a的值;
(Ⅱ)把(Ⅰ)求出a的值代入圓的方程中確定出圓的方程,即可得到圓心的座標,並判斷得到已知點在圓外,分兩種情況:當切線的斜率不存在時,得到x=3為圓的切線;當切線的斜率存在時,設切線的斜率為k,由(3,5)和設出的k寫出切線的方程,根據直線與圓相切時圓心到直線的距離等於圓的半徑,利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,讓d等於圓的半徑即可列出關於k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所設的切線方程即可確定出切線的方程.綜上,得到所有滿足題意的切線的方程.
【詳解】解:(Ⅰ)依題意可得圓心C(a,2),半徑r=2,
則圓心到直線l:x﹣y+3=0的距離,
由勾股定理可知,代入化簡得|a+1|=2,
解得a=1或a=﹣3,
又a>0,所以a=1;
(Ⅱ)由(1)知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,圓心座標為(1,2),圓的半徑r=2
由(3,5)到圓心的距離為r=2,得到(3,5)在圓外,
∴①當切線方程的斜率存在時,設方程為y﹣5=k(x﹣3)
由圓心到切線的距離dr=2,
化簡得:12k=5,可解得,
∴切線方程為5x﹣12y+45=0;
②當過(3,5)斜率不存在直線方程為x=3與圓相切.
由①②可知切線方程為5x﹣12y+45=0或x=3.
點睛】此題考查學生掌握直線與圓相切時所滿足的條件,靈活運用垂徑定理及勾股定理化簡求值,靈活運用點到直線的距離公式化簡求值,是一道綜合題
知識點:圓與方程
題型:解答題
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