已知⊙C:x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率為1的直線l,使l被⊙C截得弦AB,以AB為直徑的圓經...
問題詳情:
已知⊙C:x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率為1的直線l,使l被⊙C截得弦AB,以AB為直徑的圓經過原點.若存在,寫出直線l的方程;若不存在,說明理由.
【回答】
方法一:假設存在這樣的直線l,且設為y=x+m.
⊙C化為(x-1)2+(y+2)2=9,圓心C(1,-2),則AB中點N是直線x-y+m=0與y+2=-(x-1)的交點,即N(-,),
因為以AB為直徑的圓過原點,所以|AN|=|ON|.
又CN⊥AB,|CN|=.
所以|AN|==.
又|ON|=,
由|AN|=|ON|得m=1或m=-4.
所以存在符合條件的直線l,方程為x-y+1=0或x-y-4=0.
方法二:設這樣的直線存在,其方程為y=x+b,它與圓C的交點設為A(x1,y1),B(x2,y2),
則由
得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
所以,
所以y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2.
由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,
所以2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,
即b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,整理得b2+3b-4=0,
所以b=1或b=-4.
所以存在符合條件的直線l,方程為x-y+1=0或x-y-4=0.
知識點:圓與方程
題型:解答題
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