已知點是橢圓C：上的一點，橢圓C的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，斜率為直線l交橢圓C於B，D兩點，且A、B、...

問題詳情：

已知點是橢圓C：上的一點，橢圓C的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，斜率為直線l交橢圓C於B，D兩點，且A、B、D三點互不重合．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若分別為直線AB，AD的斜率，求*：為定值．

【回答】

（1）（2）詳見解析

【解析】（1）由題意，可得e==，代入A（1，）得，..........2分

又，解得，.......................................................................3分

所以橢圓C的方程．......................................................................................4分

（2）*：設直線BD的方程為y=x+m，

又A、B、D三點不重合，∴，

設D（x1，y1），B（x2，y2），

則由得4x2+2mx+m2-4=0...................6分

所以△=-8m2+64＞0，所以＜m＜．

x1+x2=-m，....................7分

設直線AB、AD的斜率分別為：kAB、kAD，

則kAD+kAB=...................................9分

=......................................................11分

所以kAD+kAB=0，即直線AB，AD的斜率之和為定值...................................................12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題