已知橢圓C：的離心率為，分別為橢圓的左、右頂點，點滿足.(1)求橢圓的方程；(2)設直線經過點且與交於不同的兩...

問題詳情：

已知橢圓C：的離心率為，分別為橢圓的左、右頂點，點滿足.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線經過點且與交於不同的兩點，試問：在x軸上是否存在點,使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，求出點的座標及定值，若不存在，請說明理由.

【回答】

解：（1）依題意，，P（2，-1），所以=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a2,(2分)

由=1，a>0,得a=2,因為e=，所以c=，b2=a2-c2=1，（4分）

故橢圓C的方程為.（5分）

（2）假設存在滿足條件的點Q（t，0），當直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意，

因此直線l的斜率k存在，設l：y+1=k（x-2），

由消y，得（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k=0，（7分）

△=-64k>0,所以k<0,

設，則x1+x2=,x1x2=,

因為

===，（10分）

所以要使對任意滿足條件的k，為定值，則只有t=2，此時=1.

故在x軸上存在點Q（2，0）使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1.（12分）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題