如圖，拋物線y=-x2+bx+c過點A（3，2），且與直線y=-x+交於B、C兩點，點B的座標為（4，m）．（...

問題詳情：

如圖，拋物線y=-x2+bx+c過點A（3，2），且與直線y=-x+交於B、C兩點，點B的座標為（4，m）．（1）求拋物線的解析式；（2）點D為拋物線上位於直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC於點E，點P為對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PA的最小值；（3）設點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使∠AQM=45°？若存在，求點Q的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：（1）將點B的座標為（4，m）代入y=-x+， m=-4+=-， ∴B的座標為（4，-），將A（3，2），B（4，-）代入y=-x2+bx+c，解得b=1，c=， ∴拋物線的解析式y=；（2）設D（m，），則E（m，-m+）， DE=（）-（-m+）==-（m-2）2+2， ∴當m=2時，DE有最大值為2，此時D（2，），作點A關於對稱軸的對稱點A'，連線A'D，與對稱軸交於點P． PD+PA=PD+PA'=A'D，此時PD+PA最小， ∵A（3，2）， ∴A'（-1，2）， A'D==，即PD+PA的最小值為；（3）作AH⊥y軸於點H，連線AM、AQ、MQ、HA、HQ， ∵拋物線的解析式y=， ∴M（1，4）， ∵A（3，2）， ∴AH=MH=2，H（1，2） ∵∠AQM=45°， ∠AHM=90°， ∴∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圓的圓心為H， ∴QH=HA=HM=2 設Q（0，t），則=2， t=2+或2- ∴符合題意的點Q的座標：Q1（0，2-）、Q2（0，2）．【解析】

（1）將點B的座標為（4，m）代入y=-x+，m=-4+=-，B的座標為（4，-），將A（3，2），B（4，-）代入y=-x2+bx+c，解得b=1，c=，因此拋物線的解析式y=；（2）設D（m，），則E（m，-m+），DE=（）-（-m+）==-（m-2）2+2，當m=2時，DE有最大值為2，此時D（2，），作點A關於對稱軸的對稱點A'，連線A'D，與對稱軸交於點P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此時PD+PA最小；（3）作AH⊥y軸於點H，連線AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（1，4），A（3，2），可得AH=MH=2，H（1，2）因為∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圓的圓心為H，於是QH=HA=HM=2設Q（0，t），則=2，t=2+或2-，求得符合題意的點Q的座標：Q1（0，2-）、Q2（0，2）．本題考查了二次函式，熟練運用二次函式的圖象的*質與一次函式的*質以及圓周角定理是解題的關鍵．