如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，B點座標為（4，0），與y軸交於點C（0，4）．（1）求拋...

問題詳情：

如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，B點座標為（4，0），與y軸交於點C（0，4）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線y=x+m與直線BC交於點E，與y軸交於點F，求PE+EF的最大值；

（3）點D為拋物線對稱軸上一點．

①當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，直接寫出點D的座標；

②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點D的縱座標n的取值範圍．

【回答】

（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得

，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4；

（2）由B（4，0），C（0，4），根據待定係數法易得BC的解析式為y=﹣x+4，

∵直線y=x+m與直線y=x平行，

∴直線y=﹣x+4與直線y=x+m垂直，

∴∠CEF=90°，

∴△ECF為等腰直角三角形，

作PH⊥y軸於H，PG∥y軸交BC於G，如圖1，△EPG為等腰直角三角形，PE=PG，

設P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），則G（t，﹣t+4），

∴PF=PH=t，PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，

∴PE=PG=﹣t2+2t，

∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+，

當t=時，PE+EF的最大值為；

（3）①如圖2，拋物線的對稱軸為直線x=，

設D（，y），則BC2=42+42=32，DC2=（）2+（y﹣4）2，BD2=（4﹣）2+y2=+y2，

當△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2+DC2=BD2，

即32+（）2+（y﹣4）2=+y2，解得y=5，此時D點座標為（，）；

當△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2+DB2=DC2，

即32++y2=（）2+（y﹣4）2，解得y=﹣1，此時D點座標為（，﹣）；

綜上所述，符合條件的點D的座標是（，）或（，﹣）；

②當△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時，DC2+DB2=BC2，即（）2+（y﹣4）2++y2=32，解得y1=，y2=，此時D點座標為（，）或（，），

所以△BCD是銳角三角形，點D的縱座標的取值範圍為＜y＜或﹣＜y＜．

知識點：各地會考

題型：綜合題