為拋物線的焦點,過點的直線與交於、兩點,的準線與軸的交點為,動點滿足.(1)求點的軌跡方程;(2)當四邊形的面...
問題詳情:
為拋物線的焦點,過點的直線與交於、兩點,的準線與軸的交點為,動點滿足.
(1)求點的軌跡方程;
(2)當四邊形的面積最小時,求直線的方程.
【回答】
.解:(I)拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),∴E(﹣1,0).
設直線l的方程為x﹣my﹣1=0.
聯立方程組,消元得:y2﹣4my﹣4=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),則y1+y2=4m,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2.
∴AB的中點座標為M(2m2+1,2m).
∵=+=2,∴M為EP的中點.
∴,∴,即y2=4x﹣12.
∴點P的軌跡方程為y2=4x﹣12. ........6分
(II)由(I)得y1+y2=4m,y1y2=﹣4.
∴|AB|===4(m2+1).
E到直線l:x﹣my﹣1=0的距離d=,
∴S△ABE=•|AB|•d=4,
∵=+,∴四邊形EAPB是平行四邊形,
∴平行四邊形EAPB的面積S=2S△ABE=8.
∴當m=0時,S取得最小值8.
此時直線l的方程為x﹣1=0..........12分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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