如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC為弦作⊙O，交AC於點D，OD與BC交於點E，若...

問題詳情：

如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC為弦作⊙O，交AC於點D，OD與BC交於點E，若AB與⊙O相切，則下列結論：

①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤=

正確的有（　　）

A．①②      B．①④⑤  C．①②④⑤     D．①②③④⑤

【回答】

C【解答】解：∵∠ACB=45°，

∴由圓周角定理得：∠BOD=2∠ACB=90°，∴①正確；

∵AB切⊙O於B，

∴∠ABO=90°，

∴∠DOB+∠ABO=180°，

∴DO∥AB，∴②正確；

假如CD=AD，因為DO∥AB，

所以CE=BE，

根據垂徑定理得：OD⊥BC，

則∠OEB=90°，

∵已*出∠DOB=90°，

∴此時△OEB不存在，∴③錯誤；

∵∠DOB=90°，OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD=45°=∠ACB，

即∠ODB=∠C，

∵∠DBE=∠CBD，

∴△BDE∽△BCD，∴④正確；

過E作EM⊥BD於M，

則∠EMD=90°，

∵∠ODB=45°，

∴∠DEM=45°=∠EDM，

∴DM=EM，

設DM=EM=a，

則由勾股定理得：DE=a，

∵∠ABC=180°﹣∠C﹣∠A=75°，

又∵∠OBA=90°，∠OBD=45°，

∴∠OBC=15°，

∴∠EBM=30°，

在Rt△EMB中BE=2EM=2a，

∴==，∴⑤正確；

故選：C．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：選擇題