如圖，AB是⊙M的直徑，BC是⊙M的切線，切點為B，C是BC上（除B點外）的任意一點，連線CM交⊙M於點G，過...

問題詳情：

如圖，AB 是⊙M 的直徑，BC 是⊙M 的切線，切點為 B，C 是 BC 上

（除 B 點外）的任意一點，連線 CM 交⊙M 於點 G，過點 C 作 DC⊥BC 交 BG 的 延長線於點 D，連線 AG 並延長交 BC 於點 E．

（1）求*：△ABE∽△BCD；

（2）若 MB=BE=1，求 CD 的長度．

【回答】

【分析】（1）根據直徑所對圓周角和切線*質，*三角形相似；

（2）利用勾股定理和麵積法得到 AG、GE，根據三角形相似求得 GH，得到 MB、

GH 和 CD 的數量關係，求得 CD．

【解答】（1）*：∵BC 為⊙M 切線

∴∠ABC=90°

∵DC⊥BC

∴∠BCD=90°

∴∠ABC=∠BCD

∵AB 是⊙M 的直徑

∴∠AGB=90°

即：BG⊥AE

∴∠CBD=∠A

∴△ABE∽△BCD

（2）解：過點 G 作 GH⊥BC 於 H             

∵MB=BE=1∴AB=2

∴AE=

由（1）根據面積法 AB•BE=BG•AE

∴BG=

由勾股定理：

AG=，GE=

∵GH∥AB

∴

∴

∴GH=

又∵GH∥AB

①                 

同理：②

①+②，得

∴

∴CD=

【點評】本題是幾何綜合題，綜合考察了圓周角定理、切線*質和三角形相似．解 答時，注意根據條件構造相似三角形．

知識點：各地會考

題型：解答題