如圖11所示,已知拋物線與軸交於A、B兩點,與軸交於點C.(1)求A、B、C三點的座標.(2)過點A作AP∥C...
問題詳情:
如圖11所示,已知拋物線與軸交於A、B兩點,與軸交於點C.
(1)求A、B、C三點的座標.
(2)過點A作AP∥CB交拋物線於點P,求四邊形ACBP的面積.
(3)在軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG軸
於點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似.
若存在,請求出M點的座標;否則,請說明理由.
【回答】
解:(1)令,得 解得
令,得
∴ A B C ・・・・ (2分)
(2)∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB, ∴PAB=
過點P作PE軸於E,則APE為等腰直角三角形
令OE=,則PE= ∴P
∵點P在拋物線上 ∴
解得,(不合題意,捨去) ∴PE=・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 4分)
∴四邊形ACBP的面積=AB•OC+AB•PE
=・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 6分)
(3). 假設存在
∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG軸於點G, ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中,OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE= ∴AP= ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 7分)
設M點的橫座標為,則M
①點M在軸左側時,則
() 當AMG PCA時,有=
∵AG=,MG=
即
解得(捨去) (捨去)
() 當MAG PCA時有=
即
解得:(捨去)
∴M ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (10分)
② 點M在軸右側時,則
() 當AMG PCA時有=
∵AG=,MG=
∴
解得(捨去)
∴M
() 當MAGPCA時有=
即
解得:(捨去) ∴M
∴存在點M,使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似
M點的座標為,, ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (13分)
知識點:相似單元測試
題型:計算題
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