綜合與探究如圖1,拋物線與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,經過點B的直線交y軸於點E(0,2).(1)求A...
問題詳情:
綜合與探究
如圖1 ,拋物線與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,經過點B的直線交y軸於點E(0,2).
(1)求A,B,C三點的座標及直線BE的解析式.
(2)如圖2,過點A作BE的平行線交拋物線於點D,點P是拋物線上位於線段AD下方的一個動點,連線PA,PD,求面積的最大值.
(3)若(2)中的點P為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點Q,使得以A,D,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點Q的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
[考點]解一元二次方程,一次函式解析式的確定,解二元一次方程組,二次函式的*質,三角形面積的計算,解一元一次方程,平行四邊形的判定與*質,分類討論思想
[解析] (1) 對於拋物線的解析式,令y =0,可求點A,B的座標,令x =0可求點C的座標,由點B,E的座標可求出直線BE的解析式.
(2)先求出直線AD的解析式,聯立直線AD及拋物線的解析式組成方程組,通過解方程組求出點D的座標.過點P作PF⊥x軸於點F,交AD於點N,過點D作DG⊥x軸於點G,設出點P的座標,表示出PN的長,進而表示出△APD的面積,利用二次函式的*質可求解.
(3)根據AD為邊或對角線,分情況畫出圖形,根據平行四邊形的*質及座標關係求解.
解:(1)當y =0時,,解得x1= 4,x2 =-1.
點A在點B的左側,
A(- 1,0),B(4,0).
當x =0時,y =-2,
C(0,-2). (2分)
設直線BE的解析式為y=k x +b.
把B(4,0),E(0,2)分別代入,得
解得
直線BE的解析式為.(3分)
(2)由題意可設直線AD的解析式為.
把A(-1,0)代入,得,
解得
直線AD的解析式為 (4分)
由
得
點D的座標為(3,-2). ........ (5分)
如解圖1,過點P作PF⊥x軸於點F,交AD於點N,過點D作DG⊥x軸於點G.
解圖1 解圖2
(6分)
設P()則N()(7分)
(8分)
當a=1時,△APD的面積最大,最大面積為4. (9分)
(3)存在.點Q的座標為(2,0)或(-4,0)或或(13分)
[提示]如解圖2,當四邊形AQPD或四邊形QAPD是平行四邊形時,PD//AQ,則點P的縱座標為-2.由點P在拋物線上,得,解得x =0或x=3.此時點P與點C重合,PD=3.則點Q的座標為(2,0)或(-4,0).
當四邊形PADQ是平行四邊形時,可得點P的縱座標為2.由點P在拋物線上,得
,解得或.此時點Q的座標為
或.綜上,符合條件的點Q的座標為(2,0)或(-4,0)或或
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:解答題
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